Enrico Dante nació en Roma el 5 de julio de 1884. Cursó sus estudios en el Collegio Capranica y en la Pontificia Universidad Gregoriana, donde obtuvo el doctorado en filosofía, teología, derecho canónico y derecho civil. Asimismo, se diplomó como abogado de la Rota Romana.

Fue ordenado sacerdote el 3 de julio de 1910. Al año siguiente fue nombrado profesor de filosofía en la Pontificia Universidad Urbaniana, cargo que desempeñó hasta 1928, cuando pasó a ser profesor de teología en la misma institución, función que ejerció hasta 1947.

Aunado a su labor docente fue nombrado oficial de la Sagrada Penitenciaría Apostólica (1913) y miembro del Colegio de Maestros de Ceremonias Pontificias (1914). En 1923 pasó a ser ayudante del sustituto de la Sagrada Congregación de Ritos y, en 1930, sustituto de la misma. En 1943 fue nombrado Prelado Doméstico de Su Santidad (15 de mayo) y subsecretario de la Sagrada Congregación de Ceremonias (27 de mayo).

El 13 de junio de 1947, Pío XII lo nombró prefecto de Ceremonias Pontificias. Como maestro de ceremonias pontificias, monseñor Dante participó en los cónclaves de 1914, 1922, 1939. Y como prefecto de Ceremonias participó en los cónclaves 1958 y 1963, además de la ceremonia de apertura del Concilio Vaticano II y las exequias de san Juan XXIII.

San Juan XXIII lo nombró prosecretario de la Sagrada Congregación de Ritos el 24 de enero de 1959 y secretario de la misma Congregación el 5 de enero de 1960. El mismo Sumo Pontífice lo nombró arzobispo titular de Carpasia el 28 de agosto de 1962 y le confirió la ordenación episcopal el 21 de septiembre de ese mismo año en la Basílica de Letrán. El 22 de febrero de 1965, san Pablo VI lo creó cardenal, asignándole la iglesia titular de Santa Ágata de los Godos. Por ello, el cardenal Sante dejó el cargo de Prefecto de Ceremonias.

Falleció en Roma el 24 de abril de 1967 y fue sepultado en su iglesia titular.